คณิตศาสตร์ปราบไวรัส

"...ข้อนี้ ใครๆก็คงเข้าใจได้ไม่ยากว่า ประเทศที่มีการตรวจวัดเชื้อน้อยกว่า ย่อมจะมี "ผู้ติดเชื้อเงียบ” ที่ไม่แสดงอาการ”ปะปนอยู่ในสังคมมากกว่าประเทศที่ตรวจวัดเชื้อมากกว่า ดังนั้น “มาตรการเว้นระยะห่างทางสังคม” ที่บังคับใช้ในระดับชาติ จึงเป็นหนทางเดียวที่จะป้องกันการแพร่ระบาดของเชื้อ COVID-19 ได้ และ การเว้นระยะห่างทางสังคมที่ดีที่สุด คือ การอยู่บ้าน..."

ในช่วง “อยู่บ้าน” ทำให้มีเวลาการทบทวนวิชาคณิตศาสตร์ที่ใช้จำลองการระบาดของโรคติดต่อ ด้วยการทำงานวิจัยและการสอนวิชาด้าน Computational Engineering มากว่า 40 ปี ผมรู้สึกว่าควรมีส่วนช่วยสังคมได้คนละไม้คนละมือ โดยการอธิบายให้สังคมได้เข้าใจถึงความหมายของตัวเลขและกราฟต่างๆ ที่มีมากมายจนท่วมสมอง เพราะความเข้าใจเป็นกุญแจสำคัญ ช่วยให้ประชาชนให้ความร่วมมือในมาตรการ”การแยกห่าง” และ “การอยู่บ้าน”

มาตรการแทรกแซงการระบาดเชื้อ

ในทางทฤษฎี ถ้ารัฐสามารถใช้มาตรการตรวจวัดเชื้อของประชาชนทุกคนทั้งประเทศ และแยกกักกันผู้ติดเชื้อได้ ก็คงจะไม่มีการระบาดสู่ผู้ติดเชื้อรายใหม่ มาตรการที่ดีถัดมา คือ การปิดเมืองศูนย์กลางของการระบาด แต่ต้องทำตั้งแต่เชื้อยังไม่กระจาย เช่น มาตรการที่ใช้ในประเทศจีนและเกาหลี ในขณะที่เชื้อกระจายในวงกว้างแล้ว มาตรการเดียวที่เหลือ คือ ”การเว้นระยะห่างทางสังคม (Social Distancing)” และการเว้นระยะห่างทางสังคมที่ดีที่สุด คือ “การอยู่บ้าน” มาตรการนี้ คือการสร้างระเบียบในสังคม ที่แยก “ผู้ติดเชื้อเงียบ” ออกโดยอัตโนมัติ เพื่อป้องกันการแพร่เชื้อโดยไม่รู้ตัว

คำถามหนึ่งที่ถามบ่อย เกี่ยวกับจำนวนการตรวจวัดเชื้อ COVID-19 ว่ามีผลอย่างไรในการป้องกันการขยายตัวของเชื้อ เช่น ประเทศไทยรายงานเมื่อวันที่ 9 เมษายนว่า มีการตรวจวัดเชื้อ(ส่วนใหญ่คือผู้มีอาการ) มาแล้วทั้งหมด 30,542 ราย (เกาหลี 494,711 ราย) หรือ คิดเป็น 0.44 (เกาหลี 9.66) ต่อพันคน โดยให้เทียบกับเกาหลี (ในวงเล็บ) คำตอบคือ กลยุทธ์และมาตรการที่ประเทศไทยต้องใช้ ย่อมแตกต่างจากเกาหลี

ข้อนี้ ใครๆก็คงเข้าใจได้ไม่ยากว่า ประเทศที่มีการตรวจวัดเชื้อน้อยกว่า ย่อมจะมี "ผู้ติดเชื้อเงียบ” ที่ไม่แสดงอาการ”ปะปนอยู่ในสังคมมากกว่าประเทศที่ตรวจวัดเชื้อมากกว่า ดังนั้น “มาตรการเว้นระยะห่างทางสังคม” ที่บังคับใช้ในระดับชาติ จึงเป็นหนทางเดียวที่จะป้องกันการแพร่ระบาดของเชื้อ COVID-19 ได้ และ การเว้นระยะห่างทางสังคมที่ดีที่สุด คือ การอยู่บ้าน

จำนวน”ผู้ติดเชื้อเงียบ”วัดได้อย่างไร

ความจริง คือ ตัวเลขจำนวนผู้ติดเชื้อสะสมที่ประกาศทุกวัน ไม่มีผลต่อผู้ติดเชื้อใหม่ในอนาคต เพราะได้ถูกกักตัวไว้แล้ว จึงแพร่เชื้อไม่ได้ ที่สำคัญกว่า คือ ผู้ติดเชื้อเงียบที่ปะปนในสังคมนั่นเอง

ผมได้ค้นพบว่า มีดัชนีตัวหนึ่งที่สามารถให้ข้อมูลเชิงคุณภาพ ถึงจำนวนผู้ติดเชื้อเงียบที่ปะปนอยู่ในสังคม โดยขออธิบายได้ด้วยผังกราฟฟิคในภาพ 1 และ 2 ตามแนวคิดดังนี้

1. ผู้ติดเชื้อในวันนี้ที่เพิ่มขึ้นจาก 7 วันที่แล้ว ได้รับเชื้อไวรัสมาแล้วอย่างน้อย 7 วัน โดยพิจารณาจากระยะการฟักตัว 5 วันและการเสียเวลาตรวจวัดเชื้ออีก 2 วัน

2. ผู้ติดเชื้อในวันนี้ (ตัวสีเทา) ไม่ได้ติดเชื้อจากผู้ติดเชื้อที่ยืนยัน (ตัวสีแดง) เมื่อ 7 วันที่แล้วซึ่งถูกกักกันไว้แล้ว แต่จะติดจากผู้ติดเชื้อเงียบ (ตัวสีส้ม) ที่อยู่ปะปนในสังคม

ภาพที่ 1 จากสถิติขององค์การอนามัยโลก มีเพียง 14% ของผู้ติดเชื้อที่มีอาการหนักหลังจากระยะฟักฟูมเชื้อ 5.1 วันโดยเฉลี่ย ในขณะที่ 56% มีอาการไม่รุนแรงและสามารถหายเองได้ และที่เหลือ 30% ไม่มีอาการเลย ในบางประเทศ จะจำกัดการตรวจวัดเชื้อเพียงกรณีที่คนไข้ร่างกายอ่อนแอ หรือ ที่มีอาการหนัก หรือบางส่วนที่อาการปานกลางบ้าง รวมๆกันเป็นตัวเลขกลมๆ 20% ที่ถือว่าเป็น “ผู้ติดเชื้อ”ที่ได้รับการยืนยันเป็นทางการ ในขณะที่ 80% ของผู้ติดเชื้อนั้นถือเป็น “ผู้ติดเชื้อเงียบ” และปะปนอยู่ในสังคม.

ภาพที่ 2 ค่า A7 จะสูงกว่า 1.0 เสมอ และจะมีค่าเท่ากับ 1.0 เมื่อการระบาดสิ้นสุดลง ส่วนเกินของ 1.0 หมายถึง "ผู้ติดเชื้อ" ทั้งหมดที่ยืนยันในวันนี้มากกว่าตัวเลขเดียวกันเมื่อ 7 วันที่แล้ว ผู้ติดเชื้อชุดนี้แม้เพิ่งแสดงอาการ แต่ความจริงติดเชื้อตั้งแต่ 7 วันที่แล้ว (ไอคอนสีเทาในกราฟิก) การติดเชื้อไม่ได้ติดจาก “ผู้ติดเชื้อ” ที่ไดรับการยืนยันเพราะพวกนี้ได้ถูกกักกันไว้แล้ว แต่ติดเชื้อจาก 80% ของผู้ติดเชื้อที่ยังปะปนในสังคม ที่เรียกว่า “ผู้ป่วยเงียบ” (ไอคอนสีส้ม) นอกจากผู้ที่หายเองไปแล้ว

ค่าที่สูงกว่า 1.0 มากเป็นหลายๆเท่า บ่งชี้ว่ามีการติดเชื้อเป็นจำนวนมากในช่วงสัปดาห์ที่นำไปสู่ 7 วันที่แล้ว ซึ่งก็หมายความว่า สังคมตอนนั้นมี “ผู้ป่วยเงียบ” จำนวนมาก กรณี A7 = 1.0 จึงชี้ว่า ไม่มีการติดเชื้อเลย จึงไม่มีผู้ป่วยเพิ่มขึ้นในสัปดาห์ที่แล้ว ซึ่งก็หมายความว่า สังคมไม่มี“ ผู้ป่วยเงียบ” อีกแล้ว แต่การประกาศชัยชนะอาจต้องให้ A7 มีค่าเท่ากับ 1.0 ทอดเป็นเวลายาว ดังเช่นกรณีของจีน

3. เราไม่มีทางทราบจำนวนผู้ติดเชื้อเงียบในสังคม (ตัวสีส้ม) เนื่องจากไม่มีอาการ จากสถิติกลุ่มนี้มีถึง 80% ของผู้ติดเชื้อทั้งหมด หรือประมาณ 4 เท่าของผู้ติดเชื้อสะสมเมื่อ 7 วันที่แล้ว ผู้ติดเชื้อเงียบจำนวนมากนี้ ถ้าไม่ได้ป่วยอีกก็คงหายเองโดยไม่ต้องรักษา ดังนั้นจึงมีเพียง "ผู้ติดเชื้อเงียบ” ที่เหลือที่ยังสามารถแพร่เชื้อได้

4. หากเราหารจำนวนผู้ติดเชื้อสะสมวันนี้ ด้วยค่าเดียวกัน 7 วันที่แล้ว คือ A7 = N(7)/N(0) ดังในภาพ 2 จะได้ค่า A7 > 1.0 ส่วนที่เกิน 1.0 คือ ผู้ป่วยที่เพิ่มขึ้นทั้งหมดเมื่อสัปดาห์ที่แล้ว

5. ค่า A7 ที่เราอยากได้ คือ 1.0 ซึ่งหมายความว่า จำนวนผู้ติดเชื้อสะสมในวันนี้เท่ากับ 7 วันที่แล้ว นั่นคือ ไม่มีผู้ติดเชื้อใหม่ตลอด 7 วันที่ผ่านมา ซึ่งเป็นการบ่งชี้เป็นนัยว่า ในสังคมไร้ “ผู้ติดเชื้อเงียบ” แล้วตลอดสัปดาห์ก่อนหน้า 7 วันที่แล้ว

6. ประโยชน์ของกราฟ A7 นอกจากการดูแนวโน้มการเปลี่ยนแปลงของสถานการณ์โรคระบาดแล้ว ยังช่วยยืนยันว่ามาตรการรัฐบาลได้ผลหรือไม่ ยกตัวอย่างใกล้ตัว กราฟ A7 ของประเทศไทย (ภาพ 3) การไต่ลงอย่างรวดเร็วของกราฟตั้งแต่วันที่ 24 มีนาคม ได้ยืนยันถึงประสิทธิภาพของมาตรการในวันที่ 18 มีนาคม ที่รัฐสั่งปิดสถาบันการศึกษา ศูนย์การค้า และสถานบันเทิง นอกจากนี้ จากกราฟ เราอาจทำนายแนวโน้มว่า กราฟ A7 คงจะแตะที่ 1.0 ประมาณวันที่ 30 เมษายน (ถ้าไม่มีเหตุการณ์ Super Spreader เกิดขึ้น)

ภาพที่ 3 กราฟ A7 ของประเทศไทยล่าสุด ซึ่งมีสัญญาณที่ดีที่ขยับเข้าใกล้ 1.0 นอกจากนี้ การไต่ลงอย่างรวดเร็วของกราฟตั้งแต่วันที่ 24 มีนาคม ยังช่วยยืนยันถึงประสิทธิภาพของมาตรการในวันที่ 18 มีนาคม ที่รัฐสั่งปิดสถาบันการศึกษา ศูนย์การค้า และสถานบันเทิง

7. สำหรับประเทศจีนและเกาหลีใต้ (ภาพ 4 และ 5) ค่า A7 ลดลงมาใกล้ 1.0 เร็วมากด้วยมาตรการที่เข้มข้นตั้งแต่ช่วงต้นๆของการระบาด

ภาพที่ 4 ในประเทศจีน ในช่วงก่อนปิดเมืองอู่ฮั่นและมณฑลหูเป่ย า A7 จะสูงอยู่ในระดับมากกว่า 10 เท่า แปลว่า ในช่วงนั้น มีผู้ติดเชื้อใหม่เพิ่มขึ้นแต่ละวันมากกว่า 10 เท่าของตัวเลข 7 วันที่แล้ว จากนั้นหลังจากการปิดตัวของอู่ฮั่นและหูเป่ยลงอย่างเข้มงวด ค่า A7 ก็ได้ลดลงอย่างรวดเร็ว จนลงมาถึง 1.01 - 1.00 ตั้งแต่วันที่ 4 มีนาคม ประเทศจีนรอประมาณ 1 เดือนเพื่อให้มั่นใจว่า การระบาดไม่กลับมาใหม่ ในที่สุดเมืองหวู่ฮั่นก็เปิดใหม่ในวันที่ 8 เมษายน

ภาพที่ 5 ประเทศเกาหลีใต้มักถูกยกเป็นตัวอย่างที่ดีในการต่อสู้กับการระบาดของเชื้อ COVID-19 เช่นเดียวกับประเทศจีน ค่า A7 เคยสูงถึงกว่า 20 เท่า แต่ได้ลดลงอย่างรวดเร็วหลังจากการใช้มาตรกาที่เข้มข้นของรัฐ การติดตามและตรวจวัดเชื้อในกลุ่มเสี่ยงจำนวนมากยังได้ช่วยลดจำนวน ”ผู้ติดเชื้อเงียบ” ในปะปนอยู่ในสังคม ปัจจุบัน ค่า A7 ได้ลดลงมาที่ 1.1 เป็นเกือบเดือนแล้ว

8. โดยการติดตามกราฟ A7 ทุกวัน ถ้ามาตรการได้ผล เราจะเห็นค่า A7 เข้าใกล้ 1.0 เรื่อย แต่ถ้าเราชล่าใจ การระบาดอาจฟื้นกลับมาใหม่ อย่างกรณีประเทศญี่ปุ่น (ภาพ 6) และมาเลเชีย (ภาพ 7)

ภาพที่ 6 กราฟ A7 ของญี่ปุ่นมีลักษณะเหมือนนั่ง roller coaster ในช่วงหนึ่ง ญี่ปุ่นทำท่าจะไปได้ดี มีช่วงที่ A7 ลงมาถึง 1.35 เท่า แต่หลัง 24 มีนาคม ดูเหมือนอาจมีการผ่อนคลายในมาตรการ Social Distancing กราฟจึงกลับฟื้นตัวขึ้นใหม่ นี่คือเหตุผลที่ญี่ปุ่นต้องประกาศสถานการณ์ฉุกเฉินเมื่อสัปดาห์ที่แล้ว มีผลทำให้วันนี้ (10 เมษายน) เราได้เห็นการลดลงของ A7 อีกครั้ง

ภาพที่ 7 ในมาเลเซีย สถานการณ์การระบาดได้เลวร้ายลงในช่วงกลางเดือนมีนาคม เมื่อกลุ่มพลเมืองบางกลุ่มท้าทายคำสั่งควบคุมการเคลื่อนไหวของรัฐ ทำให้ A7 เพิ่มขึ้นเป็น 5 เท่า สุดท้าย รัฐบาลมาเลเซียต้องประกาศว่าจะเข้าสู่ "โหมดยาแรง"เพื่อควบคุมให้พลเมืองปฏิบ้ติตามมาตรการควบคุมการเคลื่อนไหว ส่งผลให้ A7 ลดลงเหลือ 1.42 ในวันที่ 10 เมษายน

9. สหรัฐอเมริกาเป็นกรณีที่น่าสนใจ แม้จำนวนผู้ติดเชื้อและผู้เสียชีวิตจะมากมาย แต่อัตราเพิ่มได้เริ่มลดลงตั้งแต่ วันที่ 25 มีนาคม ถ้าดูจากกราฟ (ภาพ ค่า A7 ได้ลดลงสม่ำเสมอตลอดเวลา 2 สัปดาห์ที่ผ่านมา ปัจจุบันนี้ (ในวันที่ 10 เมษายน) ค่า A7 อยู่ที่ 2.0

ภาพที่ 8 สหรัฐอเมริกาเป็นกรณีที่น่าสนใจ การติดเชื้อทั้งหมดที่ได้รับการยืนยันในวันนี้ถือเป็นระดับสูงสุดของโลก (560,433) เพราะสหรัฐฯเป็นประเทศที่มีพลเมืองมากและหลากหลาย และส่วนหนึ่งเพราะขยับตัวช้ามาก การล่าช้าแค่หนึ่งวันของมาตรการแทรกแซงของรัฐบาลในระยะแรกของโรคระบาด สามารถก่อให้เกิดการเพิ่มขึ้นอย่าง exponential อย่างไรก็ตาม ในช่วงนี้ได้มีสัญญาณที่ดีว่าการระบาดจะค่อยๆลดลง เพราะค่า A7 ได้ชะลอตัวตั้งแต่ตลอดเวลา 2 สัปดาห์ที่ผ่านมา ปัจจุบันนี้ (ในวันที่ 10 เมษายน) ค่า A7 อยู่ที่ 2.0

สุดท้ายนี้ ผมคิดว่าพวกเราทุกคนควรแสดงความขอบคุณต่อบุคลากรทางการแพทย์ทุกคนที่ทำงานอย่างไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อยและเสี่ยงชีวิต เพื่อต่อสู้กับศัตรูที่มองไม่เห็นนี้

หมายเหตุ

เพื่อลดความผกผันรายวัน ตัวเลขที่ใช้สำหรับ N(7) กับ N(0) จะใช้ 3 Days Rolling Average คือเป็นค่าเฉลี่ย 3 วัน เช่น N(7) = (n5+n6+n7)/3 โดย n คือ ตัวเลขจากที่ได้รับรายงาน

ศ.ดร.วรศักดิ์ กนกนุกุลชัย ราชบัณฑิต
ผู้อำนวยการสถาบันนวัตกรรมบูรณาการแห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

ที่มา : https://www.facebook.com/100003071429135/posts/2635315326580822/?d=n